La suite de Fibonacci – ou nombres de Fibonacci – est un ancien thème de réflexion mathématique. Comme son nom l’indique, c’est à un certain Fibonacci, mathématicien italien des XIIe-XIIIe siècles, qu’on le doit.

Leonardo Fibonacci, ou Léonard de Pise, est né vers 1170 à Pise et est mort dans cette même ville en 1250. Mais il ne s’est pas contenté de rester à Pise : il voyagea beaucoup, grâce à l’activité de commerce maritime de son père, et découvrit les mathématiques arabes en Algérie.

À cette époque, la parole du Prophète, « Allez jusqu’en Chine pour chercher la connaissance », n’était pas lettre morte et les Arabes avaient étudié à la fois les auteurs grecs (Aristote, Euclide…) et les mathématiciens indiens, dont notamment Brahmagupta, l’"inventeur" du zéro (défini comme "la soustraction d’un nombre par lui-même"), traduit en arabe dès le 8e siècle. Le génie indien fut de développer l’arithmétique sur la base de comptabilité (calculs commerciaux) et avaient adopté le système décimal (écriture des nombres en base 10, système particulièrement simple et pratique) que nous utilisons aujourd’hui. Avant l’introduction du système décimal, c’étaient des systèmes dérivés du système duodécimal (base 12) qui était généralement employé en Europe, et qui survivent dans la mesure des angles, du temps… et, jusqu’à une date pas si ancienne, en Angleterre pour la monnaie.

Le pape Gerbert avait communiqué de nombreuses connaissances mathématiques orientales en Occident, mais celles-ci étaient restées à l’abri des monastères. C’est bien Fibonacci qui a, dans son premier ouvrage Liber Abbaci, apporté à l’occident, à l’aube du 13e siècle, un système de notation et des réflexions qui allaient révolutionner notre conception des mathématiques. Puis il s’attaqua à la géométrie grecque à laquelle les Arabes avaient accès (alors que les traités originaux étaient soit perdus, soit enfouis dans les bibliothèques des monastères). Il poursuivit, en parallèle, ses propres travaux. Il fallut attendre le français Oresme (1352-1382) pour que les mathématiques occidentales connaissent à nouveau une avancée comparable.

La suite de Fibonacci est définie de la manière suivante (nous éviterons le jargon mathématique, certes très précis pour les initiés, mais pour les initiés seulement) :

Choisissons deux nombres, qui seront les premier et second terme de la suite, le troisième sera la somme des deux premiers, le quatrième sera la somme du troisième et du second, et ainsi, jusqu’à l’infini, chaque terme de la suite sera calculée comme étant la somme des deux termes précédents.

Ce qui nous donne, en prenant comme premiers éléments de la suite 0 et 1 :

0 + 1 = 1,
1 + 1 = 2,
1 + 2 = 3,
2 + 3 = 5,
3 + 5 = 8,
5 + 8 = 13,
8 + 13 = 21,
13 + 21 = 34,
21 + 34 = 55,
55 + 89 = 144

C’est une suite qui croit très vite, de manière dite "exponentielle", c’est à dire, comme les puissances d’un même nombre (si ce nombre est 10, le premier élément est 10, le second 100 = 10 x 10 = 10 puissance 2, le troisième 1000 = 10 x 10 x 10 = 10 puissance 3, etc…).

Cette suite a de nombreuses propriétés, mais la plus remarquable est la suivante :

La suite constituée par les quotients de termes successifs de la suite de Fibonacci tend à l’infini vers un nombre que l’on peut calculer.

Oui ? Prenons un nombre de la suite, divisons-le par le précédent. Plus on va loin dans la suite, plus les quotients sont proches d’un même nombre, dont les décimales se dessinent peu à peu : 1,618…

Ce nombre, 1,6180339…, est nommé φ (phi), du nom du sculpteur grec Phidias (en grec : Φειδιας) qui utilisa ce nombre dans la composition de ses ouvrages. Ce nombre est mieux connu sous le nom de nombre d’or.